Lendas, números de Mersenne e brinquedos

Há um tempo atrás, escrevi um post sobre uma categoria curiosa de números, os números de Mersenne. Destaca-se no estudo destes números um matemático francês chamado Édouard Lucas, q provou um erro na lista elaborada pelo padre francês Marin Mersenne.

É também atribuída ao mesmo E. Lucas a autoria de um quebra-cabeça curioso: a Torre de Hanói (cujo nome é uma homenagem à torre símbolo da cidade de Hanói, no Vietnã), q consiste num arranjo simples de 3 pinos verticais, por onde podemos passar discos anelados. Os diâmetros destes discos são diferentes e dispostos de forma q o maior fique na base e os menores são arranjados tendo o menor disco no topo da pilha, formando uma torre. O objetivo é passar todos os discos do primeiro ao último pino com a ajuda do pino central, de modo que no momento da transferência um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de menor diâmetro. Isto tudo, é claro, com o menor número de movimentos dos discos.

Observou-se q o menor número de movimentos do quebra-cabeça obedece à expressão 2^n (2 elevado a n) – 1 (menos 1), sendo n o número de discos. Assim, para n=3, teremos o mínimo de 7 movimentos. Subindo n para 4, é possível mover todos os discos com apenas 15 movimentos. Assim, se vc estiver disposto a presentear um parente ou um amigo com uma torre contendo 15 discos, o “felizardo” terá q executar 32.767 movimentos até passar todos os discos do primeiro ao último pino. É provável q ele não queira mais receber seus presentes!

Aqui vai uma curiosidade intrigante. Os números de Mersenne também são obtidos a partir da mesma expressão q rege a resolução do quebra-cabeça inventado pelo matemático francês!

Existem várias lendas atribuídas ao invento da Torre de Hanói. A  mais conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado no centro do universo. Diz-se que Brama supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brama ordenara aos monges que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Não é claro se Lucas inventou essa lenda ou foi inspirado por ela.

Notem q na lenda o número 64 é o escolhido para ilustrar a narrativa. Existe ainda uma outra história q conta a origem do jogo de xadrez e q envolve o mesmo número, mas isto fica para outro momento.

No meu tumblr MMC, publiquei um post sobre a tal torre e seu criador:

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