Caí na prova!

Dia 20 de julho deste ano eu fiz um post aqui no blog em referência ao Dia do Amigo. Além de repostar um cartum antigo, fiz um outro, abordando a amizade quadrática entre os números.

Dias mais tarde, recebo um email do Marcos Sirineu Kondageski, secretário da Olimpíada Paranaense de Matemática, a OPRM, pedindo para usar um cartum meu numa das provas da edição das olimpíadas deste ano. Fiquei muito feliz com o convite.

O link para a prova está aqui. Meu cartum aparece na última questão da prova além de uma série de curiosidades relativas ao mesmo tema. Confesso q não consegui resolver a questão e ao conversar com Marcos via email, ele me disse q os problemas são organizados por ordem crescente de dificuldade, o q me deixou um pouco mais tranquilo rs.

Quem quiser ver as outras provas, basta visitar o site das olimpíadas… e boa sorte!

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Caí na prova!

Zero

Embora a ideia do zero esteja presente em muitos povos antigos, sua “invenção” é atribuída aos hindus. Eles “reconheceram que o zero tinha uma existência independente, além de mero papel de marcar espaços entre os números […] Pela primeira vez o conceito abstrato do nada recebia uma representação simbólica.” (O Último Teorema de Fermat, Simon Singh, pp 73).

Rascunhei um cartum sobre o tema no caderno e finalizei-o no Procreate. Minhas ideias são melhor resolvidas no papel, não tem jeito. O Procreate grava um timelapse do q a gente faz, o q é ótimo para registrar o processo. Pena q minha conta no WP não permite postar vídeo :/

egipcio

Zero

Zero

Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

O título é grande, mas vcs vão perceber q faz um certo sentido.

Dia desses eu estava pesquisando um polígono para fazer uma história em quadrinhos: o octógono. Por definição, um octógono é um polígono que possui oito lados. Simples assim. Entretanto só me interessava o octógono regular, ou seja, aquele q possui os oito lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

Durante a pesquisa, esbarrei-me com a figura utilizada no I Ching. Não conheço nada sobre o oráculo chinês e vou focar apenas nos aspectos formais do desenho. De cara nota-se a presença de 8 conjuntos de traços, chamados trigramas. E por que 8? Porque 8 é o número de grupos de três elementos possíveis de serem formados utilizando os dois “valores” apresentados, isto é, o traço inteiro e o traço interrompido. Se quiséssemos grupos contendo 4 traços, o resultado seria 2^4 (2 elevado a 4), e teríamos 16 possibilidades.

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O símbolo do yin yang cercado pelos oito trigramas do I-Ching. Com 2 valores é possível formar 8 grupos de 3 elementos, isto é, 2^3 (2 elevado a 3).

Depois percebi q poderia fazer uma associação numérica entre símbolos e números e atribuí ao traço interrompido o valor 0 e ao traço inteiro o valor 1. Nota-se, desta forma, q o desenho do I Ching usa um sistema binário na sua construção: cada trigrama pode ser escrito em zeros e uns.

iching_binario
Associação dos traços de construção dos trigramas aos algarismo 0 e 1.

iching_i-ching-binarioFinalmente “traduzi” para o sistema decimal os “números binários” do desenho do I-Ching.  Encontrei algumas variações para a disposição dos trigramas no octógono, mas uma delas parece ser a mais utilizada: aquela q dispõe o “7” no topo e o “0” na base. Note que se tomarmos os números associados aos lados opostos do octógono, sempre teremos a soma dos mesmos igual a 7.  Além disso notei duas “linhas de crescimento”: uma partindo do 0 e indo até o 3 e outra, oposta, partindo do 4 em direção ao 7.iching_i-ching-decimal.jpgEsse foi um exercício de investigação sem nenhuma pretensão mais séria. Beira o entretenimento e não possui aplicação prática. Todavia, são atividades como essa q exercitam minha criatividade, pois trabalho com associações e interpretações livres. Para fechar o post, reservei uma análise q seria a mais “viajante” dentro deste estudo.

O símbolo do yin yang também aparece no desenho. Percebi algumas variações na sua disposição dentro do octógono, mas a q escolhi tb foi a mais utilizada. Ao analisar as duas “gotas” contrastantes do símbolo, notei uma associação interessante com os números binários dos trigramas. Os números 000, 001, 010 e 011 (q seriam o 0, 1, 2 e 3 no sistema decimal) possuem o 0 como algarismo de “maior peso” (assinalados em negrito). Já os números 100, 101, 110 e 111 (o 4, 5, 6 e 7 no sistema decimal) possuem o 1 ocupando a posição mais “pesada” do número. Assim como o preto e o branco são as partes binárias do desenho, este padrão tb aparece nos números associados às “gotas” do desenho. O 0 é formado pela repetição de três algarismos 0, representando a parte mais “concentrada” da cor escura do símbolo do yin yang, ao passo que o 7 é formado por três algarismo 1, sendo a parte mais “concentrada” da gota clara do desenho.

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A parte preta do símbolo do yin yang parece “reger” os números mais “baixos”, q possuem o 0 na posição mais “pesada” do número. A parte branca do símbolo “regeria” os números q possuem o 1 como posição de maior peso.

E isso é só o começo. Outras interpretações podem surgir e acho melhor parar por aqui antes q me perguntem o q ando fumando ou se já tomei “meu remédio” hoje.

Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

Pitágoras em um problema vitruviano

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD.

Este é o enunciado de um problema presente no livro Teorema de Pitágoras e
Áreas, de autoria de Eduardo Wagner.

vitruvio
Desenho resultante da questão constante no livro de Eduardo Wagner.

Assim que eu vi o desenho, lembrei-me do Homem vitruviano, cuja versão de Leonardo da Vinci é bastante conhecida. Outros artistas  fizeram suas representações, mas a essência é a mesma: integrar a figura humana dentro de um círculo e um quadrado.

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O Homem vitruviano. À esquerda, desenho de Leonardo da Vinci. À direita, versão de Giacomo Andrea

É claro q, olhando com bastante critério, existe uma diferença no q diz respeito aos pontos do lado superior do quadrado em relação ao círculo, mas vamos considerar esse desvio como irrelevante.

O problema pede achar o raio da circunferência dada, isto é o segmento OB. Voltemos agora ao desenho de Giacomo. Fácil perceber q este segmento seria um com extremidades no umbigo da figura humana desenhada e na ponta do dedo da mão, correto?

Aqui vale uma pausa. Um  cânone é um modelo, um padrão (existem outros significados, mas este é o q nos interessa). E um dos mais conhecidos é o do escultor grego Lísipo, q dividiu a figura humana em 8 partes, usando a cabeça como unidade de medida, isto é, como cânone.

De forma “arredondada” (encontrei algumas aproximações) a linha do umbigo estaria a 3 cabeças do topo da figura (ou a 5 cabeças da base), ou seja, usando a linha do pé como referência, o umbigo estaria a 5/8 da altura da figura humana. Voltemos ao desenho de Giacomo e vamos notar q esta também é a medida entre o umbigo e a ponta do dedo da mão.

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Exemplo do cânone de 8 cabeças. O umbigo passaria aproximadamente a 3 cabeças do topo ou a 5 cabeças da base da figura humana.

Agora vamos retomar o desenho do quadrado e da circunferência. Achar a o raio da circunferência (ou o segmento OB), é o mesmo q achar a hipotenusa do triângulo retângulo representado conforme a figura abaixo.

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O raio (R) da circunferência é a hipotenusa (OB) do triângulo retângulo OMB.

Para tanto, vamos usar o teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa (OB ou R) é igual à soma do quadrado dos dois catetos: (MB = a/2) e (OM = a – R)

R^2 = (a/2)^2 + (a – R)^2

O resultado de R em função de lado do quadrado  é igual a 5a/8, ou seja, cinco oitavos do lado do quadrado, a mesma distância q encontramos no cânone das 8 cabeças!

Outra coisa interessante é que se dividimos 8/5 vamos encontrar 1,6, q é uma aproximação do número de ouro (1,618…). Esta informação é importante pq o número de ouro é encontrado facilmente em várias proporções do corpo humano. A localização do umbigo em relação à altura do corpo é um bom exemplo disso.

E pra descontrair, uma forma bem-humorada de nos referirmos ao “raio da circunferência”.

O raio da circunferência

Pitágoras em um problema vitruviano