Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

O título é grande, mas vcs vão perceber q faz um certo sentido.

Dia desses eu estava pesquisando um polígono para fazer uma história em quadrinhos: o octógono. Por definição, um octógono é um polígono que possui oito lados. Simples assim. Entretanto só me interessava o octógono regular, ou seja, aquele q possui os oito lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

Durante a pesquisa, esbarrei-me com a figura utilizada no I Ching. Não conheço nada sobre o oráculo chinês e vou focar apenas nos aspectos formais do desenho. De cara nota-se a presença de 8 conjuntos de traços, chamados trigramas. E por que 8? Porque 8 é o número de grupos de três elementos possíveis de serem formados utilizando os dois “valores” apresentados, isto é, o traço inteiro e o traço interrompido. Se quiséssemos grupos contendo 4 traços, o resultado seria 2^4 (2 elevado a 4), e teríamos 16 possibilidades.

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O símbolo do yin yang cercado pelos oito trigramas do I-Ching. Com 2 valores é possível formar 8 grupos de 3 elementos, isto é, 2^3 (2 elevado a 3).

Depois percebi q poderia fazer uma associação numérica entre símbolos e números e atribuí ao traço interrompido o valor 0 e ao traço inteiro o valor 1. Nota-se, desta forma, q o desenho do I Ching usa um sistema binário na sua construção: cada trigrama pode ser escrito em zeros e uns.

iching_binario
Associação dos traços de construção dos trigramas aos algarismo 0 e 1.

iching_i-ching-binarioFinalmente “traduzi” para o sistema decimal os “números binários” do desenho do I-Ching.  Encontrei algumas variações para a disposição dos trigramas no octógono, mas uma delas parece ser a mais utilizada: aquela q dispõe o “7” no topo e o “0” na base. Note que se tomarmos os números associados aos lados opostos do octógono, sempre teremos a soma dos mesmos igual a 7.  Além disso notei duas “linhas de crescimento”: uma partindo do 0 e indo até o 3 e outra, oposta, partindo do 4 em direção ao 7.iching_i-ching-decimal.jpgEsse foi um exercício de investigação sem nenhuma pretensão mais séria. Beira o entretenimento e não possui aplicação prática. Todavia, são atividades como essa q exercitam minha criatividade, pois trabalho com associações e interpretações livres. Para fechar o post, reservei uma análise q seria a mais “viajante” dentro deste estudo.

O símbolo do yin yang também aparece no desenho. Percebi algumas variações na sua disposição dentro do octógono, mas a q escolhi tb foi a mais utilizada. Ao analisar as duas “gotas” contrastantes do símbolo, notei uma associação interessante com os números binários dos trigramas. Os números 000, 001, 010 e 011 (q seriam o 0, 1, 2 e 3 no sistema decimal) possuem o 0 como algarismo de “maior peso” (assinalados em negrito). Já os números 100, 101, 110 e 111 (o 4, 5, 6 e 7 no sistema decimal) possuem o 1 ocupando a posição mais “pesada” do número. Assim como o preto e o branco são as partes binárias do desenho, este padrão tb aparece nos números associados às “gotas” do desenho. O 0 é formado pela repetição de três algarismos 0, representando a parte mais “concentrada” da cor escura do símbolo do yin yang, ao passo que o 7 é formado por três algarismo 1, sendo a parte mais “concentrada” da gota clara do desenho.

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A parte preta do símbolo do yin yang parece “reger” os números mais “baixos”, q possuem o 0 na posição mais “pesada” do número. A parte branca do símbolo “regeria” os números q possuem o 1 como posição de maior peso.

E isso é só o começo. Outras interpretações podem surgir e acho melhor parar por aqui antes q me perguntem o q ando fumando ou se já tomei “meu remédio” hoje.

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Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

Pitágoras em um problema vitruviano

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD.

Este é o enunciado de um problema presente no livro Teorema de Pitágoras e
Áreas, de autoria de Eduardo Wagner.

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Desenho resultante da questão constante no livro de Eduardo Wagner.

Assim que eu vi o desenho, lembrei-me do Homem vitruviano, cuja versão de Leonardo da Vinci é bastante conhecida. Outros artistas  fizeram suas representações, mas a essência é a mesma: integrar a figura humana dentro de um círculo e um quadrado.

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O Homem vitruviano. À esquerda, desenho de Leonardo da Vinci. À direita, versão de Giacomo Andrea

É claro q, olhando com bastante critério, existe uma diferença no q diz respeito aos pontos do lado superior do quadrado em relação ao círculo, mas vamos considerar esse desvio como irrelevante.

O problema pede achar o raio da circunferência dada, isto é o segmento OB. Voltemos agora ao desenho de Giacomo. Fácil perceber q este segmento seria um com extremidades no umbigo da figura humana desenhada e na ponta do dedo da mão, correto?

Aqui vale uma pausa. Um  cânone é um modelo, um padrão (existem outros significados, mas este é o q nos interessa). E um dos mais conhecidos é o do escultor grego Lísipo, q dividiu a figura humana em 8 partes, usando a cabeça como unidade de medida, isto é, como cânone.

De forma “arredondada” (encontrei algumas aproximações) a linha do umbigo estaria a 3 cabeças do topo da figura (ou a 5 cabeças da base), ou seja, usando a linha do pé como referência, o umbigo estaria a 5/8 da altura da figura humana. Voltemos ao desenho de Giacomo e vamos notar q esta também é a medida entre o umbigo e a ponta do dedo da mão.

canone
Exemplo do cânone de 8 cabeças. O umbigo passaria aproximadamente a 3 cabeças do topo ou a 5 cabeças da base da figura humana.

Agora vamos retomar o desenho do quadrado e da circunferência. Achar a o raio da circunferência (ou o segmento OB), é o mesmo q achar a hipotenusa do triângulo retângulo representado conforme a figura abaixo.

vitruvio2
O raio (R) da circunferência é a hipotenusa (OB) do triângulo retângulo OMB.

Para tanto, vamos usar o teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa (OB ou R) é igual à soma do quadrado dos dois catetos: (MB = a/2) e (OM = a – R)

R^2 = (a/2)^2 + (a – R)^2

O resultado de R em função de lado do quadrado  é igual a 5a/8, ou seja, cinco oitavos do lado do quadrado, a mesma distância q encontramos no cânone das 8 cabeças!

Outra coisa interessante é que se dividimos 8/5 vamos encontrar 1,6, q é uma aproximação do número de ouro (1,618…). Esta informação é importante pq o número de ouro é encontrado facilmente em várias proporções do corpo humano. A localização do umbigo em relação à altura do corpo é um bom exemplo disso.

E pra descontrair, uma forma bem-humorada de nos referirmos ao “raio da circunferência”.

O raio da circunferência

Pitágoras em um problema vitruviano

“Estudar é preciso”

Nesta semana estudei um pouco do teorema de Pitágoras. Antes eu estudava para passar na prova, passar de ano, passar em concurso. Estudar era quase sempre um meio, não um fim em si mesmo. Ainda estudo com objetivos práticos e até outubro o meu foco é “passar”. Mas hj não posso dizer q estudo SÓ para isso. Desde q comecei a fazer cartuns a partir de temas relacionados à Matemática e outras disciplinas, fiquei mais atento aos assuntos, sempre buscando uma “brecha”, um elemento capaz de virar um desenho. Algum humor, sim, mas sem deturpar o conteúdo, senão vira um desserviço.

Sobre o célebre teorema do matemático de Samos, passei pelos ternos pitagóricos, q são conjuntos de 3 números inteiros q satisfazem à regra: o quadrado do maior número é igual à soma do quadrado dos outros dois. Se prestarmos atenção, nada mais é do q acontece em um triângulo retângulo, cujo quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Além disso, se os 3 números forem primos entre si, isto é, possuírem apenas o número 1 como divisor comum, temos um trio pitagórico primitivo.

Bom, o resultado dos estudos segue abaixo:

Ternos pitagóricos Terno pitagórico primitivo

Quase todos esses desenhos eu publico no meu perfil no Instagram. Mas como eu gosto de escrever, e acho esse exercício fundamental para meu trabalho, o blog continua sendo o melhor lugar. Talvez soe obsoleto demais, mas desde q a ferramenta de blog surgiu, eu nunca deixei de usar esse recurso.

“Estudar é preciso”

Hoje é dia do preço redondo!

É assim que o locutor do hortifruti perto de casa anuncia a promoção do dia. Os cartazes, feitos à mão com um tipo de letra de q eu gosto muito – e já tive até vontade de aprender ou fazer parecido – estampam os valores “arredondados”. Nada de 1 e 99 ou 3 e 49.

Popularmente os “números redondos” são aqueles em oposição aos “números quebrados”, isto é, 9 é mais redondo q 8,99; todavia 10 é mais redondo do q 9, dependendo do contexto. Eu uso muito a expressão números redondos para expressar exatamente um número divisível por 10.

Pesquisando, cheguei a um texto de autoria do falecido Carlos Heitor Cony sobre números redondos. O texto é ótimo: leve, bem escrito, com conteúdo e diverte tb. Coisa de quem realmente sabe fazer. Cony cita o fato de os árabes não apreciarem os números redondos. Recentemente reli o Homem que Calculava e creio q existe uma passagem a respeito disso, pois qdo li o trecho de Cony eu já sabia e a única fonte de q me recordo de ter aprendido isso seria a partir do livro do Malba Tahan (ou então estou ficando senil muito cedo). Tentei catar o trecho do livro, mas não consegui. Fica aí como desafio.

precos.jpg
Dia de preço redondo no hortifruti! Nada de 1 e 89 ou 1 e 39.

E um cartunzinho para não perder o costume.Números redondos

Hoje é dia do preço redondo!

O sagrado no desenho

Desenho muito em papel solto. No meu trabalho, tenho bloquinhos de papel de tamanhos variados (são feitos a partir das sobras de cortes de papel). Tenho “caderno oficial” de desenho, mas muitas vezes ele está na mochila. E quando uma ideia surge, ou simplesmente quando rabisco para descansar do trabalho, os bloquinhos estão sempre à mão. Muitas vezes é de onde saem meus “melhores” desenhos. Não preciso de muito: um lápis número 2 (desses escolares, bem ordinários) e uma caneta Bic azul ou preta. Como os desenhos são feitos em papel “descartável”, muitas vezes vem o pensamento de: puxa, poderia fazer esse desenho no caderno oficial! E nunca sai a mesma coisa. Então aprendi q o suporte pouco importa. Depois eu pego essas folhas soltas e colo no caderno. Simples assim.

Dias atrás estava nesse “ritual” de colar os papeis e me dei conta de q é preciso gostar do próprio desenho. Desenhistas consagrados certamente vão dizer aos iniciantes q não existe desenho “bonito” ou “feio”. Existe o SEU desenho e pronto! É fácil dizer isso qdo estamos numa boa, produzindo bastante, tendo ideias e ideias ou com um trabalho reconhecido. Mas há dias q a mais simples figura é um parto para nascer. E a gente acaba achando q “desaprendeu”. Eu sou assim (ainda).

Quero falar mais sobre isso futuramente, mas sei q, ao pegar cada folha solta e colar no caderno, algo de sagrado se processa, pq o desenho é algo q vem de mim e q merece reverência. Tá certo, não dá pra guardar tudo, mas não rasgue ou jogue fora os papeis com um sentimento de repulsa ou rancor se tal desenho não saiu do jeito q vc queria. Admirar o próprio trabalho é um passo importante para conseguir algo q não vem com o reconhecimento dos outros: ajuda-nos a ter paz com o q fazemos.

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O sagrado no desenho

Beleza (e estranheza) numérica

Dia desses estava visitando minhas pastas de desenho virtual e me deparei com um rascunho q fiz acerca de uma categoria de números chamada números belos. Sem entrar em questionamentos acerca da beleza, é considerado belo o número formado apenas por algarismos pares (vai entender!).

Aproveito essas temáticas para desenhar meus cartuns, mas para me certificar sobre a definição do número, encontrei um vídeo q mostra a resolução de uma questão apresentada no ENA (Exame Nacional de Admissão) do PROFMAT, o mestrado profissional em Matemática, de 2012, e q traz, além dos números belos, mais um conceito atribuído a outra categoria de números, os estranhos.

Sobre os números estranhos eu já havia desenhado algo a respeito em 2013. Segue agora a finalização do cartum sobre números belos (provavelmente rascunhado no mesmo período), bem como o cartum sobre os números estranhos.
Números belos
Números estranhos

Beleza (e estranheza) numérica