Euler

No dia 18 de setembro de 1873, aos 76 anos, morria um dos mais prolíficos matemáticos que se tem notícia: Leonhard Euler. Durante sua vida, Euler teve graves problemas de visão, mas nunca se deixou abater por isso. Suas habilidades de cálculo mental e de memória fotográfica compensavam a gradativa perda da visão.

Euler

Treze

Supersticiosos de plantão, esta é a primeira das 2 únicas sextas-feiras 13 do ano de 2019. Comemoremos o dia deste número primo injustiçado desde os tempos mais remotos, mas que não tem culpa nenhuma no cartório (rs)!
E nos vemos em dezembro, quando teremos a outra sexta-feira 13 deste ano.
Ah, e detalhe: fiquem tranquilos pois em cada ano não há mais que 3 sextas-feiras com esse número. Tá bom, né?
Sextou

Treze

Zero

Embora a ideia do zero esteja presente em muitos povos antigos, sua “invenção” é atribuída aos hindus. Eles “reconheceram que o zero tinha uma existência independente, além de mero papel de marcar espaços entre os números […] Pela primeira vez o conceito abstrato do nada recebia uma representação simbólica.” (O Último Teorema de Fermat, Simon Singh, pp 73).

Rascunhei um cartum sobre o tema no caderno e finalizei-o no Procreate. Minhas ideias são melhor resolvidas no papel, não tem jeito. O Procreate grava um timelapse do q a gente faz, o q é ótimo para registrar o processo. Pena q minha conta no WP não permite postar vídeo :/

egipcio

Zero

Zero

No tempo das cavernas

Não, este não é um post sobre Matemática. Assistindo a alguns vídeos sobre História da Arte, acabei me lembrando de uma divisão aplicada ao período conhecido como Paleolítico: o Inferior e o Superior. Este último vai culminar com o Neolítico. O Paleolítico Superior coincide aproximadamente com a última glaciação, o que permitiu ao ser humano fixar-se por mais tempo num mesmo lugar e deixar sua vida nômade. Ele também começa a pintar o interior das cavernas, nascendo a chamada arte rupestre.

Entrevista para emprego

No tempo das cavernas

Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

O título é grande, mas vcs vão perceber q faz um certo sentido.

Dia desses eu estava pesquisando um polígono para fazer uma história em quadrinhos: o octógono. Por definição, um octógono é um polígono que possui oito lados. Simples assim. Entretanto só me interessava o octógono regular, ou seja, aquele q possui os oito lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

Durante a pesquisa, esbarrei-me com a figura utilizada no I Ching. Não conheço nada sobre o oráculo chinês e vou focar apenas nos aspectos formais do desenho. De cara nota-se a presença de 8 conjuntos de traços, chamados trigramas. E por que 8? Porque 8 é o número de grupos de três elementos possíveis de serem formados utilizando os dois “valores” apresentados, isto é, o traço inteiro e o traço interrompido. Se quiséssemos grupos contendo 4 traços, o resultado seria 2^4 (2 elevado a 4), e teríamos 16 possibilidades.

iching_i-ching
O símbolo do yin yang cercado pelos oito trigramas do I-Ching. Com 2 valores é possível formar 8 grupos de 3 elementos, isto é, 2^3 (2 elevado a 3).

Depois percebi q poderia fazer uma associação numérica entre símbolos e números e atribuí ao traço interrompido o valor 0 e ao traço inteiro o valor 1. Nota-se, desta forma, q o desenho do I Ching usa um sistema binário na sua construção: cada trigrama pode ser escrito em zeros e uns.

iching_binario
Associação dos traços de construção dos trigramas aos algarismo 0 e 1.

iching_i-ching-binarioFinalmente “traduzi” para o sistema decimal os “números binários” do desenho do I-Ching.  Encontrei algumas variações para a disposição dos trigramas no octógono, mas uma delas parece ser a mais utilizada: aquela q dispõe o “7” no topo e o “0” na base. Note que se tomarmos os números associados aos lados opostos do octógono, sempre teremos a soma dos mesmos igual a 7.  Além disso notei duas “linhas de crescimento”: uma partindo do 0 e indo até o 3 e outra, oposta, partindo do 4 em direção ao 7.iching_i-ching-decimal.jpgEsse foi um exercício de investigação sem nenhuma pretensão mais séria. Beira o entretenimento e não possui aplicação prática. Todavia, são atividades como essa q exercitam minha criatividade, pois trabalho com associações e interpretações livres. Para fechar o post, reservei uma análise q seria a mais “viajante” dentro deste estudo.

O símbolo do yin yang também aparece no desenho. Percebi algumas variações na sua disposição dentro do octógono, mas a q escolhi tb foi a mais utilizada. Ao analisar as duas “gotas” contrastantes do símbolo, notei uma associação interessante com os números binários dos trigramas. Os números 000, 001, 010 e 011 (q seriam o 0, 1, 2 e 3 no sistema decimal) possuem o 0 como algarismo de “maior peso” (assinalados em negrito). Já os números 100, 101, 110 e 111 (o 4, 5, 6 e 7 no sistema decimal) possuem o 1 ocupando a posição mais “pesada” do número. Assim como o preto e o branco são as partes binárias do desenho, este padrão tb aparece nos números associados às “gotas” do desenho. O 0 é formado pela repetição de três algarismos 0, representando a parte mais “concentrada” da cor escura do símbolo do yin yang, ao passo que o 7 é formado por três algarismo 1, sendo a parte mais “concentrada” da gota clara do desenho.

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A parte preta do símbolo do yin yang parece “reger” os números mais “baixos”, q possuem o 0 na posição mais “pesada” do número. A parte branca do símbolo “regeria” os números q possuem o 1 como posição de maior peso.

E isso é só o começo. Outras interpretações podem surgir e acho melhor parar por aqui antes q me perguntem o q ando fumando ou se já tomei “meu remédio” hoje.

Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

Pitágoras em um problema vitruviano

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD.

Este é o enunciado de um problema presente no livro Teorema de Pitágoras e
Áreas, de autoria de Eduardo Wagner.

vitruvio
Desenho resultante da questão constante no livro de Eduardo Wagner.

Assim que eu vi o desenho, lembrei-me do Homem vitruviano, cuja versão de Leonardo da Vinci é bastante conhecida. Outros artistas  fizeram suas representações, mas a essência é a mesma: integrar a figura humana dentro de um círculo e um quadrado.

vitruvios2
O Homem vitruviano. À esquerda, desenho de Leonardo da Vinci. À direita, versão de Giacomo Andrea

É claro q, olhando com bastante critério, existe uma diferença no q diz respeito aos pontos do lado superior do quadrado em relação ao círculo, mas vamos considerar esse desvio como irrelevante.

O problema pede achar o raio da circunferência dada, isto é o segmento OB. Voltemos agora ao desenho de Giacomo. Fácil perceber q este segmento seria um com extremidades no umbigo da figura humana desenhada e na ponta do dedo da mão, correto?

Aqui vale uma pausa. Um  cânone é um modelo, um padrão (existem outros significados, mas este é o q nos interessa). E um dos mais conhecidos é o do escultor grego Lísipo, q dividiu a figura humana em 8 partes, usando a cabeça como unidade de medida, isto é, como cânone.

De forma “arredondada” (encontrei algumas aproximações) a linha do umbigo estaria a 3 cabeças do topo da figura (ou a 5 cabeças da base), ou seja, usando a linha do pé como referência, o umbigo estaria a 5/8 da altura da figura humana. Voltemos ao desenho de Giacomo e vamos notar q esta também é a medida entre o umbigo e a ponta do dedo da mão.

canone
Exemplo do cânone de 8 cabeças. O umbigo passaria aproximadamente a 3 cabeças do topo ou a 5 cabeças da base da figura humana.

Agora vamos retomar o desenho do quadrado e da circunferência. Achar a o raio da circunferência (ou o segmento OB), é o mesmo q achar a hipotenusa do triângulo retângulo representado conforme a figura abaixo.

vitruvio2
O raio (R) da circunferência é a hipotenusa (OB) do triângulo retângulo OMB.

Para tanto, vamos usar o teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa (OB ou R) é igual à soma do quadrado dos dois catetos: (MB = a/2) e (OM = a – R)

R^2 = (a/2)^2 + (a – R)^2

O resultado de R em função de lado do quadrado  é igual a 5a/8, ou seja, cinco oitavos do lado do quadrado, a mesma distância q encontramos no cânone das 8 cabeças!

Outra coisa interessante é que se dividimos 8/5 vamos encontrar 1,6, q é uma aproximação do número de ouro (1,618…). Esta informação é importante pq o número de ouro é encontrado facilmente em várias proporções do corpo humano. A localização do umbigo em relação à altura do corpo é um bom exemplo disso.

E pra descontrair, uma forma bem-humorada de nos referirmos ao “raio da circunferência”.

O raio da circunferência

Pitágoras em um problema vitruviano