Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

O título é grande, mas vcs vão perceber q faz um certo sentido.

Dia desses eu estava pesquisando um polígono para fazer uma história em quadrinhos: o octógono. Por definição, um octógono é um polígono que possui oito lados. Simples assim. Entretanto só me interessava o octógono regular, ou seja, aquele q possui os oito lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

Durante a pesquisa, esbarrei-me com a figura utilizada no I Ching. Não conheço nada sobre o oráculo chinês e vou focar apenas nos aspectos formais do desenho. De cara nota-se a presença de 8 conjuntos de traços, chamados trigramas. E por que 8? Porque 8 é o número de grupos de três elementos possíveis de serem formados utilizando os dois “valores” apresentados, isto é, o traço inteiro e o traço interrompido. Se quiséssemos grupos contendo 4 traços, o resultado seria 2^4 (2 elevado a 4), e teríamos 16 possibilidades.

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O símbolo do yin yang cercado pelos oito trigramas do I-Ching. Com 2 valores é possível formar 8 grupos de 3 elementos, isto é, 2^3 (2 elevado a 3).

Depois percebi q poderia fazer uma associação numérica entre símbolos e números e atribuí ao traço interrompido o valor 0 e ao traço inteiro o valor 1. Nota-se, desta forma, q o desenho do I Ching usa um sistema binário na sua construção: cada trigrama pode ser escrito em zeros e uns.

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Associação dos traços de construção dos trigramas aos algarismo 0 e 1.

iching_i-ching-binarioFinalmente “traduzi” para o sistema decimal os “números binários” do desenho do I-Ching.  Encontrei algumas variações para a disposição dos trigramas no octógono, mas uma delas parece ser a mais utilizada: aquela q dispõe o “7” no topo e o “0” na base. Note que se tomarmos os números associados aos lados opostos do octógono, sempre teremos a soma dos mesmos igual a 7.  Além disso notei duas “linhas de crescimento”: uma partindo do 0 e indo até o 3 e outra, oposta, partindo do 4 em direção ao 7.iching_i-ching-decimal.jpgEsse foi um exercício de investigação sem nenhuma pretensão mais séria. Beira o entretenimento e não possui aplicação prática. Todavia, são atividades como essa q exercitam minha criatividade, pois trabalho com associações e interpretações livres. Para fechar o post, reservei uma análise q seria a mais “viajante” dentro deste estudo.

O símbolo do yin yang também aparece no desenho. Percebi algumas variações na sua disposição dentro do octógono, mas a q escolhi tb foi a mais utilizada. Ao analisar as duas “gotas” contrastantes do símbolo, notei uma associação interessante com os números binários dos trigramas. Os números 000, 001, 010 e 011 (q seriam o 0, 1, 2 e 3 no sistema decimal) possuem o 0 como algarismo de “maior peso” (assinalados em negrito). Já os números 100, 101, 110 e 111 (o 4, 5, 6 e 7 no sistema decimal) possuem o 1 ocupando a posição mais “pesada” do número. Assim como o preto e o branco são as partes binárias do desenho, este padrão tb aparece nos números associados às “gotas” do desenho. O 0 é formado pela repetição de três algarismos 0, representando a parte mais “concentrada” da cor escura do símbolo do yin yang, ao passo que o 7 é formado por três algarismo 1, sendo a parte mais “concentrada” da gota clara do desenho.

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A parte preta do símbolo do yin yang parece “reger” os números mais “baixos”, q possuem o 0 na posição mais “pesada” do número. A parte branca do símbolo “regeria” os números q possuem o 1 como posição de maior peso.

E isso é só o começo. Outras interpretações podem surgir e acho melhor parar por aqui antes q me perguntem o q ando fumando ou se já tomei “meu remédio” hoje.

Geometria, I Ching, sistemas de numeração e um pouco de análise combinatória

Pitágoras em um problema vitruviano

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD.

Este é o enunciado de um problema presente no livro Teorema de Pitágoras e
Áreas, de autoria de Eduardo Wagner.

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Desenho resultante da questão constante no livro de Eduardo Wagner.

Assim que eu vi o desenho, lembrei-me do Homem vitruviano, cuja versão de Leonardo da Vinci é bastante conhecida. Outros artistas  fizeram suas representações, mas a essência é a mesma: integrar a figura humana dentro de um círculo e um quadrado.

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O Homem vitruviano. À esquerda, desenho de Leonardo da Vinci. À direita, versão de Giacomo Andrea

É claro q, olhando com bastante critério, existe uma diferença no q diz respeito aos pontos do lado superior do quadrado em relação ao círculo, mas vamos considerar esse desvio como irrelevante.

O problema pede achar o raio da circunferência dada, isto é o segmento OB. Voltemos agora ao desenho de Giacomo. Fácil perceber q este segmento seria um com extremidades no umbigo da figura humana desenhada e na ponta do dedo da mão, correto?

Aqui vale uma pausa. Um  cânone é um modelo, um padrão (existem outros significados, mas este é o q nos interessa). E um dos mais conhecidos é o do escultor grego Lísipo, q dividiu a figura humana em 8 partes, usando a cabeça como unidade de medida, isto é, como cânone.

De forma “arredondada” (encontrei algumas aproximações) a linha do umbigo estaria a 3 cabeças do topo da figura (ou a 5 cabeças da base), ou seja, usando a linha do pé como referência, o umbigo estaria a 5/8 da altura da figura humana. Voltemos ao desenho de Giacomo e vamos notar q esta também é a medida entre o umbigo e a ponta do dedo da mão.

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Exemplo do cânone de 8 cabeças. O umbigo passaria aproximadamente a 3 cabeças do topo ou a 5 cabeças da base da figura humana.

Agora vamos retomar o desenho do quadrado e da circunferência. Achar a o raio da circunferência (ou o segmento OB), é o mesmo q achar a hipotenusa do triângulo retângulo representado conforme a figura abaixo.

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O raio (R) da circunferência é a hipotenusa (OB) do triângulo retângulo OMB.

Para tanto, vamos usar o teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa (OB ou R) é igual à soma do quadrado dos dois catetos: (MB = a/2) e (OM = a – R)

R^2 = (a/2)^2 + (a – R)^2

O resultado de R em função de lado do quadrado  é igual a 5a/8, ou seja, cinco oitavos do lado do quadrado, a mesma distância q encontramos no cânone das 8 cabeças!

Outra coisa interessante é que se dividimos 8/5 vamos encontrar 1,6, q é uma aproximação do número de ouro (1,618…). Esta informação é importante pq o número de ouro é encontrado facilmente em várias proporções do corpo humano. A localização do umbigo em relação à altura do corpo é um bom exemplo disso.

E pra descontrair, uma forma bem-humorada de nos referirmos ao “raio da circunferência”.

O raio da circunferência

Pitágoras em um problema vitruviano

“Estudar é preciso”

Nesta semana estudei um pouco do teorema de Pitágoras. Antes eu estudava para passar na prova, passar de ano, passar em concurso. Estudar era quase sempre um meio, não um fim em si mesmo. Ainda estudo com objetivos práticos e até outubro o meu foco é “passar”. Mas hj não posso dizer q estudo SÓ para isso. Desde q comecei a fazer cartuns a partir de temas relacionados à Matemática e outras disciplinas, fiquei mais atento aos assuntos, sempre buscando uma “brecha”, um elemento capaz de virar um desenho. Algum humor, sim, mas sem deturpar o conteúdo, senão vira um desserviço.

Sobre o célebre teorema do matemático de Samos, passei pelos ternos pitagóricos, q são conjuntos de 3 números inteiros q satisfazem à regra: o quadrado do maior número é igual à soma do quadrado dos outros dois. Se prestarmos atenção, nada mais é do q acontece em um triângulo retângulo, cujo quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Além disso, se os 3 números forem primos entre si, isto é, possuírem apenas o número 1 como divisor comum, temos um trio pitagórico primitivo.

Bom, o resultado dos estudos segue abaixo:

Ternos pitagóricos Terno pitagórico primitivo

Quase todos esses desenhos eu publico no meu perfil no Instagram. Mas como eu gosto de escrever, e acho esse exercício fundamental para meu trabalho, o blog continua sendo o melhor lugar. Talvez soe obsoleto demais, mas desde q a ferramenta de blog surgiu, eu nunca deixei de usar esse recurso.

“Estudar é preciso”

Leonardo, sempre Leonardo

Não faz muito tempo (ou faz) comprei um livro sobre a história de Leonardo da Vinci. Muito já se falou sobre ele e acredito q ainda muito será dito, pois Leonardo foi especial em vários sentidos. Para mim ele é referência, inspiração, frustração, inveja, exemplo. Mas ele foi um ser humano. Quanto mais admiramos uma pessoa, maior o risco de idolatrar e esquecer q todos nós q passamos pela Terra somos cheios de qualidades e possibilidades, mas não somos perfeitos.

Conhecer a humanidade de Leonardo alivia o fardo da comparação q não leva a lugar nenhum, uma vez q todos nós somos únicos e especiais por isso mesmo.

Vou lentamente avançando nas mais de 550 páginas (excetuando notas e referências). O capítulo q me chamou a atenção para escrever este post foi um chamado Matemática. Neste ponto está a humanidade de Leonardo e a pluralidade dessa disciplina. Leonardo era “ruim” de contas e de equações, ou seja, em matéria de aritmética e álgebra ele não se destacou. Mas se deu bem na geometria, o q talvez até fosse de se esperar, uma vez q a inteligência espacial de Leonardo foi algo espetacular.

Obcecado por qq assunto q lhe interessasse, Leonardo rabiscou muito acerca de problemas clássicos sobre Matemática, como a famosa “quadratura do círculo”. Existe uma história sobre uma praga q assolou a cidade de Delos no século V a.C. Após consultar o oráculo de Delfos, a praga desapareceria qdo o altar dedicado ao deus Apolo, q tinha o formato de um cubo, tivesse seu volume dobrado. Rapidamente os cidadãos dobraram a medida dos lados e o resultado foi um desastre, pois o volume aumentou em oito vezes. A solução seria multiplicar cada lado pela raiz cúbica de 2.

Este problema, q hoje se resolve em qualquer aula de matemática q verse sobre volumes dos sólidos, tem sua solução na manipulação algébrica. Leonardo tentou resolver a questão usando geometria e aí vem a minha opinião: realmente ele conseguiu dobrar o volume do cubo, mas a figura resultante não era um cubo, e sim um prisma de base quadrada. Quem quiser se aventurar, a descrição da solução adotada por ele está nas páginas 235 e 236 do livro de Isaacson. Anos mais tarde vieram provar q seria impossível resolver a questão usando régua e compasso, instrumentos muito usados na geometria. Eu tentei. Risquei, rabisquei, montei até um protótipo de cubo para poder seccionar, mas me dei por vencido.

Felizmente essa passagem do livro me “consumiu” por um dia inteiro e tive a inspiração para fazer uma pequena história sobe a “dobradura de um quadrado” (q tb está explicada no mesmo livro e funciona!).

O resultado segue abaixo. Divirtam-se!

A pizza quadrada

Leonardo, sempre Leonardo

“All we need is love”

Quando eu era criança, lembro de ter conseguido um selo q eu achei (e ainda acho) muito bonito. Trazia ele apenas uma palavra impressa com uma fonte serifada (além da informação do preço e localidade). Não sei porque, mas ali o gosto pela tipografia já despontava, pois diferente de outros selos – q geralmente eram estampados com fotos, desenhos, gravuras – este só exibia letras e me fascinou. É claro que tudo ali funcionava, a começar pela palavra: LOVE. Quatro letras, duas consoantes, duas vogais. As cores e o “charme” da letra “O”, quebrando o rigor da fonte, permitindo-se sair do eixo, tudo harmônico. O autor da imagem é Robert Indiana e o selo que exibia seu trabalho tornou-se um ícone visual (como o  I ❤ NY). O selo começou a circular em janeiro de 1973, embora a imagem tenha sido criada anos antes. Descobri inclusive que se tratou de uma série serigráfica e ainda é possível adquirir uma cópia.

Anos mais tarde, eis q me envolvi com muita coisa: design, matemática, quadrinhos, ilustração, computação gráfica… Fiz duas versões utilizando a mesma palavra. As letras L, O, V e E, quando maiúsculas, podem ser representadas como formas geométricas muito simples: triângulos, círculos e retângulos. E apesar da simplicidade da forma, a “mensagem” é um dos maiores tesouros q podemos conquistar.

Ah! Disponibilizei as versões do meu LOVE na minha “lojinha virtual” no Colab55. E vale lembrar q o Dia dos Namorados vem aí, ok?

 

 

“All we need is love”