Pitágoras em um problema vitruviano

É dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da circunferência que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD.

Este é o enunciado de um problema presente no livro Teorema de Pitágoras e
Áreas, de autoria de Eduardo Wagner.

vitruvio
Desenho resultante da questão constante no livro de Eduardo Wagner.

Assim que eu vi o desenho, lembrei-me do Homem vitruviano, cuja versão de Leonardo da Vinci é bastante conhecida. Outros artistas  fizeram suas representações, mas a essência é a mesma: integrar a figura humana dentro de um círculo e um quadrado.

vitruvios2
O Homem vitruviano. À esquerda, desenho de Leonardo da Vinci. À direita, versão de Giacomo Andrea

É claro q, olhando com bastante critério, existe uma diferença no q diz respeito aos pontos do lado superior do quadrado em relação ao círculo, mas vamos considerar esse desvio como irrelevante.

O problema pede achar o raio da circunferência dada, isto é o segmento OB. Voltemos agora ao desenho de Giacomo. Fácil perceber q este segmento seria um com extremidades no umbigo da figura humana desenhada e na ponta do dedo da mão, correto?

Aqui vale uma pausa. Um  cânone é um modelo, um padrão (existem outros significados, mas este é o q nos interessa). E um dos mais conhecidos é o do escultor grego Lísipo, q dividiu a figura humana em 8 partes, usando a cabeça como unidade de medida, isto é, como cânone.

De forma “arredondada” (encontrei algumas aproximações) a linha do umbigo estaria a 3 cabeças do topo da figura (ou a 5 cabeças da base), ou seja, usando a linha do pé como referência, o umbigo estaria a 5/8 da altura da figura humana. Voltemos ao desenho de Giacomo e vamos notar q esta também é a medida entre o umbigo e a ponta do dedo da mão.

canone
Exemplo do cânone de 8 cabeças. O umbigo passaria aproximadamente a 3 cabeças do topo ou a 5 cabeças da base da figura humana.

Agora vamos retomar o desenho do quadrado e da circunferência. Achar a o raio da circunferência (ou o segmento OB), é o mesmo q achar a hipotenusa do triângulo retângulo representado conforme a figura abaixo.

vitruvio2
O raio (R) da circunferência é a hipotenusa (OB) do triângulo retângulo OMB.

Para tanto, vamos usar o teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa (OB ou R) é igual à soma do quadrado dos dois catetos: (MB = a/2) e (OM = a – R)

R^2 = (a/2)^2 + (a – R)^2

O resultado de R em função de lado do quadrado  é igual a 5a/8, ou seja, cinco oitavos do lado do quadrado, a mesma distância q encontramos no cânone das 8 cabeças!

Outra coisa interessante é que se dividimos 8/5 vamos encontrar 1,6, q é uma aproximação do número de ouro (1,618…). Esta informação é importante pq o número de ouro é encontrado facilmente em várias proporções do corpo humano. A localização do umbigo em relação à altura do corpo é um bom exemplo disso.

E pra descontrair, uma forma bem-humorada de nos referirmos ao “raio da circunferência”.

O raio da circunferência

Anúncios
Pitágoras em um problema vitruviano

Leonardo, sempre Leonardo

Não faz muito tempo (ou faz) comprei um livro sobre a história de Leonardo da Vinci. Muito já se falou sobre ele e acredito q ainda muito será dito, pois Leonardo foi especial em vários sentidos. Para mim ele é referência, inspiração, frustração, inveja, exemplo. Mas ele foi um ser humano. Quanto mais admiramos uma pessoa, maior o risco de idolatrar e esquecer q todos nós q passamos pela Terra somos cheios de qualidades e possibilidades, mas não somos perfeitos.

Conhecer a humanidade de Leonardo alivia o fardo da comparação q não leva a lugar nenhum, uma vez q todos nós somos únicos e especiais por isso mesmo.

Vou lentamente avançando nas mais de 550 páginas (excetuando notas e referências). O capítulo q me chamou a atenção para escrever este post foi um chamado Matemática. Neste ponto está a humanidade de Leonardo e a pluralidade dessa disciplina. Leonardo era “ruim” de contas e de equações, ou seja, em matéria de aritmética e álgebra ele não se destacou. Mas se deu bem na geometria, o q talvez até fosse de se esperar, uma vez q a inteligência espacial de Leonardo foi algo espetacular.

Obcecado por qq assunto q lhe interessasse, Leonardo rabiscou muito acerca de problemas clássicos sobre Matemática, como a famosa “quadratura do círculo”. Existe uma história sobre uma praga q assolou a cidade de Delos no século V a.C. Após consultar o oráculo de Delfos, a praga desapareceria qdo o altar dedicado ao deus Apolo, q tinha o formato de um cubo, tivesse seu volume dobrado. Rapidamente os cidadãos dobraram a medida dos lados e o resultado foi um desastre, pois o volume aumentou em oito vezes. A solução seria multiplicar cada lado pela raiz cúbica de 2.

Este problema, q hoje se resolve em qualquer aula de matemática q verse sobre volumes dos sólidos, tem sua solução na manipulação algébrica. Leonardo tentou resolver a questão usando geometria e aí vem a minha opinião: realmente ele conseguiu dobrar o volume do cubo, mas a figura resultante não era um cubo, e sim um prisma de base quadrada. Quem quiser se aventurar, a descrição da solução adotada por ele está nas páginas 235 e 236 do livro de Isaacson. Anos mais tarde vieram provar q seria impossível resolver a questão usando régua e compasso, instrumentos muito usados na geometria. Eu tentei. Risquei, rabisquei, montei até um protótipo de cubo para poder seccionar, mas me dei por vencido.

Felizmente essa passagem do livro me “consumiu” por um dia inteiro e tive a inspiração para fazer uma pequena história sobe a “dobradura de um quadrado” (q tb está explicada no mesmo livro e funciona!).

O resultado segue abaixo. Divirtam-se!

A pizza quadrada

Leonardo, sempre Leonardo