Mais números

Onze

Hoje é dia 11 de março de 2018 (aniversário da talentosa Fernanda Valverde) e aventurei-me a escrever algumas coisas relativas ao número do dia do seu nascimento.

Pra começar, 11 é primo. E isso já é uma coisa digna de nota, visto q, como sabemos, possuem os números primos apenas dois divisores distintos entre si: o 1 e o próprio número. Todavia, são eles os geradores dos demais números, chamados, compostos. Pense em um. Que tal o 12. Este pode ser obtido multiplicando-se 4 por 3, 6 por 2… Reparem q 4 e 6 não são primos, mas estes também são formados pelo produto de números primos (4 = 2×2 e 6 = 3×2). Portanto não há como escapar, todo número composto é formado pelo produto de outros números primos. A regra é clara!

E aqui vai uma outra característica sobre o nosso objeto de estudo: 11 é um número chamado capicua. O termo é estranho, mas tratam-se dos números q apresentam sempre o mesmo valor, se lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, como o 1221, o 454, ou o 33, por exemplo.

Na língua inglesa, quando um número é primo e capicua ao mesmo tempo, ele é chamado palprime (pal = palindromic  e prime = primo). Eis os primeiros palprimes dentro do conjunto dos números naturais: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501… (vide On-line Encyclopedia of Integer Sequences)

Acho meio “forçado” dizer q 2, 3, 5 e 7 sejam capicua, mas o 11 é o único capicua primo formado por uma combinação par de algarismos. Todos os demais palprimes são compostos por uma quantidade ímpar de algarismos (vide os exemplos acima). Não existem palprimes com quantidade par de algarismos, pois qualquer capicua formado por quantidade par de algarismos é divisível por quem? Ele mesmo, por 11! E se um número possui mais de 2 divisores, pela regra enunciada acima, ele não pode ser considerado como primo.

Quando vamos estudar os números primos, tb nos deparamos com curiosidades intrigantes, pois o número 2 é o único primo par. Voltando ao nosso estudo, 11 é formado por 2 algarismos e se somarmos os algarismos do 11 teremos 2 como resultado. Números e seus mistééérios!

Como acontece com certa frequência na Matemática, não sabemos se o conjunto dos palprimes de base 10 é infinito, mas até agora o maior número que seja ao mesmo tempo capicua e primo é formado por 320.237 algarismos (já pensaram se a quantidade tb fosse um número capicua?)

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Palíndromos hexadecimais

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Eis aqui mais uma investigação sobre o tema dos hexadecimais. Essa “cachaça” é antiga e começou em A cor da palavra, desdobrou-se em Pi-xel e avança mais um passo aqui. E desta vez resolvi associar ao tema um outro elemento de q gosto muito: palíndromos.

Um palíndromo é uma palavra ou frase q pode ser lida de “frente pra trás e de trás pra frente”. Podemos pensar nos exemplos mais simples, como ovo ou arara, até evoluir para composições mais complexas, como socorram-me, subi no ônibus em Marrocos.

No livro A fórmula preferida do professor (já comentado em outro post), descobri q os palíndromos japoneses obedecem a uma inversão de sílabas, não de letras (como acontece em um palíndromo “ocidental”). Um exemplo extraído do livro: takeyabu yaketa (experimente separar em sílabas com 2 letras cada e veja o q acontece). A tradução da frase é o bambuzal pegou fogo. Se fosse em nossa língua, a palavra ‘casaca’ seria um palíndromo japonês. Para ser um palíndromo ocidental, acrescente apenas o artigo ‘a’ na frente da palavra (‘a casaca’).

Em Palíndromos Hexadecimais, criei um contador de “0 a F”, ou seja, um contador q abrangesse todos os “algarismos” formadores do sistema hexadecimal: os números de 0 a 9 e as letras de A a F. Na verdade o contador vai de 000 a FFF, pois em seguida em espelhei as combinações formadas para gerar um palíndromo. Por exemplo: para a combinação 31A, gerou-se também o seu “espelhado”, A13. No final temos 31AA13, um palíndromo hexadecimal. E o q fazer com isso? Associei a combinação alfanumérica ao parâmetro de background do código HTML da página. Como o contador é dinâmico, à medida q as combinações aparecem, a cor de fundo acompanha o palíndromo exibido.

Agora vamos lá. Se fosse um contador decimal (0 a 9), quantas combinações teríamos? Não faz muito tempo estudei análise combinatória para uma prova e este conteúdo me ajudou aqui. Um contador de 000 a 999 nos oferece 1000 possibilidades, ou seja 10x10x10. Para o contador de 0 a F, é como se o mesmo contasse de 0 a 15 (em decimal), o q nos oferece 16 possibilidades para cada casa do número. Portanto de 000 a FFF temos 16X16x16, o q dá 4096 possibilidades! Programei o contador para exibir cada número a 1s, portanto seriam necessários 4096 segundos para ver tudo, certo? 4096 segundos são aproximadamente 68,26 minutos, o q dá 1 hora e pouco mais de 8 minutos. Acho q é muito tempo para se passar em frente a uma tela, não acham?

Pensando q poucos (ou nínguem) ficariam tanto tempo assim em frente ao computador, fiz uma variação do contador: o Palíndromos Hexadecimais Aleatórios. A única diferença aqui é q as combinações geradas são escolhidas “ao acaso”, mas todas elas fazem parte do conjunto de 4096 palíndromos possíveis do contador. Basta ver algumas e seguir a vida.

 

Palíndromos hexadecimais